ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      



Задача 116723

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Голубев К.

В равностороннем треугольнике ABC провели высоту AH. В треугольнике ABH отметили точку пересечения биссектрис I. В каждом из треугольников ABI, BCI и CAI отметили по точке пересечения биссектрис – L, K и J соответственно. Найдите величину угла KJL.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116688

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116397

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116729

Темы:   [ Покрытия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Ряды с неотрицательными членами ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.

б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116730

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кноп К.А.

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось
100 кучек по одному камешку. Докажите, что
  а) в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
  б) в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
  в) Костя мог действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .