ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



Задача 116398

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Брагин В.

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116721

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть p – простое число. Набор из  p + 2  натуральных чисел (не обязательно различных) назовём интересным, если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116726

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n существуют такие целые числа  a1, a2, ..., an,  что при всех целых x число
(...((x² + a1)² + a2)² + ... + an–1)² + an   делится на  2n – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116396

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что при  n > 1  число   11 + 3³ + ... + (2n – 1)2n – 1   делится на 2n, но не делится на 2n+1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116722

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Жуков Г.

Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .