ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116397
Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.


Решение

  Если найдутся две диаметрально противоположные красные точки K и K', то для любой другой красной точки L угол KLK' прямой, то есть хорды KL и LK' искомые. Далее считаем, что диаметрально противоположных красных точек нет.
  Далее буквы без штрихов обозначают только красные точки, те же буквы со штрихом – диаметрально противоположные (синие). Если не оговорено противное, то рассматриваются только дуги с красными концами. |AB| обозначает длину кратчайшей дуги между точками A и B, s – длину полуокружности (это целое число, так как длина окружности четна). Дугу без внутренних красных точек назовём простой.
  Назовём длинной дугу длины  sk,  где  1 ≤ k ≤ 100.  Она составлена из простых дуг, в том числе двух крайних – примыкающих к концам длинной дуги. Докажем, что если длины обеих крайних дуг не равны k, то искомые хорды найдутся.
  Рассмотрим, где может находиться простая дуга длины k. Она не может примыкать к длинной снаружи (иначе объединение дуг образует полуокружность и есть диаметрально противоположные красные точки). Значит, концы дуг – четыре разные точки. Возможны два варианта взаимного расположения.
  1) Простая дуга лежит вне длинной. Проведём две пересекающиеся хорды от концов длинной дуги к концам простой. Угол между хордами измеряется полусуммой угловых мер дуг, поэтому он прямой.
  2) Простая дуга лежит на длинной. Проведём две непересекающиеся хорды от концов длинной дуги к концам простой. Угол между хордами измеряется полуразностью угловых мер дуги, дополнительной к длинной, и простой дуги, поэтому он прямой.
  Осталось доказать, что найдётся длинная дуга, для которой дополняющая её до s простая дуга – не крайняя.
  Назовём сверхдлинной дугу длины  sk,  где  1 ≤ k ≤ 50.  Для каждой точки A выберем свердлинную дугу с концом в этой точке: если A' лежит на простой дуге BC и  k = |A'B| ≤ |A'C|,  то  k ≤ 50,  и выбираем  |AB| = s – k  (при  |A'B| = |A'C|  выбираем обе: AB и AC). Тем самым выбрано не менее 50 сверхдлинных дуг. Докажем, что среди выбранных есть две дуги одинаковой длины. Если нет длины  s – 50,  то длин меньше чем дуг, и равные дуги найдутся по принципу Дирихле. Если длина  s – 50  есть, она возникла при попадании A'  в середину дуги BC длины 100, значит, есть две дуги длины  s – 50.  Обе дуги длины  s – k  могут иметь крайнюю дугу длины k, только если они пересекаются по этой дуге. Пусть  |DF| = |EG| = s – k  и они пересекаются по простой дуге EF длины k. Тогда DE и EF – непересекающиеся длинные дуги длины  s – 2k,  и хотя бы на одной из них не лежит простая дуга длины 2k.

Замечания

1. См. также задачу М2253 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №1).
2. 9 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .