ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      



Задача 116213  (#6)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Доказательство от противного ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Bapat R.B.

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце таблицы сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что  a = b.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116219  (#6)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Ориентированные графы ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На доске выписано  (n – 1)n  выражений:   x1x2x1x3,  ...,  x1xnx2x1x2x3,  ...,  x2xn,  ...,  xnxn–1,   где  n ≥  3.  Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо  (x1x2) + (x2x3)  Лёша запишет  x1x3,  а вместо  (x1x2) + (x2x1)  он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116225  (#6)

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10

Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 4 гения. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять по крайней мере 3 гениев, как бы ни действовала первая фирма?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116231  (#6)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении  a : (1 – a)  по весу, где  0 < a < 1.  Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала  (0, 1)  найдётся значение a, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .