ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 116211  (#4)

Темы:   [ Ломаные ]
[ Четность и нечетность ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Каждое звено несамопересекающейся ломаной состоит из нечётного числа сторон клеток квадрата 100×100, соседние звенья перпендикулярны.
Может ли ломаная пройти через все вершины клеток?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116217  (#4)

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

На доске написаны три натуральных числа, не превосходящих 40. За один ход можно увеличить любое из написанных чисел на число процентов, равное одному из двух оставшихся чисел, если в результате получится целое число. Существуют ли такие исходные числа, что за несколько ходов одно из чисел на доске можно сделать больше 2011?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116223  (#4)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10

У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116229  (#4)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Доказательство от противного ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Bapat R.B.

В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших чисел равна b.
  а) Докажите, что если  k = 2,  то  a = b.
  б) В случае  k = 3  приведите пример такой таблицы, для которой  a ≠ b.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116235  (#4)

Тема:   [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 11

При какой перестановке a1, a2, ..., a2011 чисел 1, 2, ..., 2011 значение выражения

будет наибольшим?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .