ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 555]      



Задача 64398

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой IaIc.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64401

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+

Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC  (AB > AC)  и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA1 – высота треугольника ABC. Известно, что  A1P = A1Q.  Докажите, что угол PA1Q в два раза больше угла A треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64402

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64405

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 3+

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64456

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A1 и B1. Докажите, что треугольник A1OB1 (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 555]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .