Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]

Задача 109618 (#96.5.11.3)

Темы:	[	Свойства сечений	]
	[	Пирамида (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Терешин Д.А.

Докажите, что при n ≥ 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109626 (#96.5.11.4)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Неравенства. Метод интервалов	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мусин О.

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, ..., n (n < m – 1) выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0, то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109619 (#96.5.11.5)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Голованов А.С.

Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108186 (#96.5.11.6)

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

В равнобедренном треугольнике ABC ( AB=BC ) проведена биссектриса CD . Прямая, перпендикулярная CD и проходящая через центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает BC в точке E . Прямая, проходящая через точку E параллельно CD , пересекает AB в точке F . Докажите, что BE=FD .

Прислать комментарий Решение

Задача 109621 (#96.5.11.7)

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Малинникова Е.

Существует ли такое конечное множество M ненулевых действительных чисел, что для любого натурального n найдется многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого действительны и также принадлежат M?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]