|
|
 |
Условие
Докажите, что при n ≥ 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.
Решение
Пусть правильный (n+1)-угольник B1...Bn+1 является сечением пирамиды SA1...An, где A1...An – правильный n-угольник. Мы рассмотрим три случая:
n = 5, n = 2k – 1 (k > 3) и n = 2k (k > 2).
Так как n-угольная пирамида имеет n + 1 грань, то стороны сечения находятся по одной в каждой грани пирамиды. Поэтому без ограничения общности можно считать, что точки B1, ..., Bn+1 расположены на ребрах пирамиды так, как показано на рисунках (в соответствии с указанными случаями).
Проведём через прямые ST и B1B4 плоскость. Эта плоскость пересечет плоскость основания пирамиды по прямой B1A4, которая должна проходить через точку пересечения прямой ST с плоскостью основания, то есть через точку T.
Итак, прямые A1A5, A4B1 и A2A3 пересекаются в одной точке. Аналогично доказывается, что прямые A1A2, A3B6 и A4A5 пересекаются в одной точке. Из этого следует, что A4B1 и A3B6 – оси симметрии правильного пятиугольника A1...A5, значит, точка O их пересечения – центр этого пятиугольника. Заметим теперь, что если Q – центр правильного шестиугольника B1...B6, то плоскости SA3B6, SA4B1 и SB2B5 пересекаются по прямой SQ. Следовательно, прямые A3B6, A4B1 и A2A5 должны пересекаться в одной точке – точке пересечения прямой SQ с плоскостью основания пирамиды. Значит, диагональ A2A5 правильного пятиугольника A1...A5 должна проходить через его центр O, что неверно.
2) n = 2k – 1 (k > 3). Аналогично первому случаю показывается, что так как в правильном 2k-угольнике B1...B2k прямые B1B2, Bk+1Bk+2 и BkBk+3 параллельны, то прямые A1A2, Ak+1Ak+2 и AkAk+3 должны пересекаться в одной точке или быть параллельными, что невозможно, так как в правильном (2k–1)-угольнике A1...A2k–1 прямые Ak+1Ak+2 и AkAk+3 параллельны, а прямые A1A2 и Ak+1Ak+2 не параллельны.
3) n = 2k (k > 2). Аналогично предыдущему случаю прямые A1A2, Ak+1Ak+2 и AkAk+3 параллельны, следовательно, прямые B1B2, Bk+1Bk+2 и BkBk+3 должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как Bk+1Bk+2 || BkBk+3, а прямые B1B2 и Bk+1Bk+2 не параллельны.
Замечания
1. При n = 3, 4 утверждение задачи неверно. Примерами могут служить правильный тетраэдр, имеющий квадратное сечение, и правильная четырёхугольная пирамида, все боковые грани которой являются правильными треугольниками, среди сечений которой есть правильный пятиугольник.
2. Приведённое решение можно было бы изложить короче, если воспользоваться тем, что при центральном проектировании образами прямых, проходящих через одну точку (или параллельных), являются прямые, проходящие через одну точку (или параллельные). Достаточно спроектировать сечение пирамиды на плоскость основания с центром в вершине пирамиды.
