ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 97817

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Анджанс А.

a1, a2, a3, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  aak = 3k  для любого k.
Найти   а)  a100;   б)  a1983.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97827

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на несколько подобных ему треугольников, так чтобы любые два из них были различны по размерам.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97828

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Прислать комментарий     Решение

Задача 108605

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Векторы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. Перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках K, M и P. Докажите, что     где Q – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97832

Темы:   [ Непрерывные функции (общие свойства) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна 1/n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .