Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78238 (#1)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Доказать, что если n чётно, то числа 1, 2, 3, ..., n² можно таким образом расположить в квадратную таблицу n×n, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78239 (#2)

Темы:	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеется трёхзначное число abc, берём cba и вычтем из большего меньшее. Получим число a₁b₁c₁, сделаем с ним то же самое и т.д.
Доказать, что на каком-то шаге мы получим или число 495, или 0. Случай a₁ = 0 допускается.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78240 (#3)

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник A₀B₀C₀. Пусть точки A₁, B₁, C₁ — центры квадратов, построенных на сторонах B₀C₀, C₀A₀, A₀B₀. С треугольником A₁B₁C₁ делаем то же самое. Получаем треугольник A₂B₂C₂ и т.д. Доказать, что $\Delta$ A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает $\Delta$ A_nB_nC_n ровно в 6 точках.

Прислать комментарий Решение

Задача 78241 (#4)

Тема:

[

Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них не превосходит 1, и если A, B, C — любые три точки из данных, то треугольник ABC — тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса 1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.

Прислать комментарий Решение

Задача 78242 (#5)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Обход графов	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На шахматной доске выбраны две клетки одинакового цвета.
Доказать, что ладья, начиная с первой, может обойти все клетки по разу, а на второй выбранной клетке побывать два раза.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]