ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78241
Тема:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них не превосходит 1, и если A, B, C — любые три точки из данных, то треугольник ABC — тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса 1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.

Решение

Выберем среди данных точек две точки A и B, расстояние между которыми наибольшее (если таких пар точек несколько, то берём любую из них). Если C -- любая из данных точек, то в треугольнике ABC тупым может быть только угол при вершине C. Поэтому точка C лежит внутри окружности с диаметром AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 24
Год 1961
вариант
1
Класс 7
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .