Ковровая дорожка покрывает лестницу из 9 ступенек. Длина и высота лестницы равны 2 метрам. Хватит ли этой ковровой дорожки, чтобы покрыть лестницу из 10 ступенек длиной и высотой 2 метра?

   Решение

Темы:    [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Имеется трёхзначное число abc, берём cba и вычтем из большего меньшее. Получим число  a₁b₁c₁,  сделаем с ним то же самое и т.д.
Доказать, что на каком-то шаге мы получим или число 495, или 0. Случай  a₁ = 0  допускается.

Решение

Если число  a₁b₁c₁  отлично от нуля, то оно обладает следующими свойствами:
  1)   b₁ = 9;
  2)   a₁b₁c₁  делится на 9.
Поэтому  a₁b₁c₁  – одно из чисел 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990. Остаётся заметить, что  594 → 99 → 891 → 693 → 297 → 495.

Источники и прецеденты использования