Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 77983 (#1)

Темы:	[	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

S $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a + b)(c + d ).

Прислать комментарий

Решение

Задача 77984 (#2)

Тема:

[

Признаки делимости (прочее)

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77985 (#3)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Многоугольники (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9

На окружности даны точки A₁, A₂,..., A₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A₁, A₂,..., A₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Прислать комментарий

Решение

Задача 77986 (#4)

Тема:

[

Четность и нечетность

]

Сложность: 3-
Классы: 9

В плоскости расположено n зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе – с третьим и т.д. Наконец, последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?

Прислать комментарий

Решение

Задача 77987 (#5)

Тема:

[

Системы линейных уравнений

]

Сложность: 3-
Классы: 9

Решить систему
x₁ + 2x₂ + 2x₃ + ... + 2x₁₀₀ = 1,
x₁ + 3x₂ + 4x₃ + ... + 4x₁₀₀ = 2,
x₁ + 3x₂ + 5x₃ + ... + 6x₁₀₀ = 3,
...
x₁ + 3x₂ + 5x₃ + ... + 199x₁₀₀ = 100.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]