|
|
 |
Условие
1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.
Решение
Мы докажем это утверждение, заменив 1953 на произвольное натуральное
число n, кратное 3. Пусть число y = a1 + 10a2 + 102a³ + ... + 10n–1an = a1 + 10a делится на 27. Достаточно доказать, что тогда число a2 + 10a3 + ... + 10n–2an + 10n–1a1 = a + 10n–1a1 тоже делится на 27. Для этого достаточно проверить, что их разность x = 9a + (1 – 10n–1)a1 делится на 27. Число x делится на 27 тогда и только тогда, когда число 10x = 90a + (10 – 10n)a1 = 9y + (1 – 10n)a1 делится на 27. Но если n кратно 3, то число 10n – 1 = делится на 27.
