Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 59 60 61 62 63 64 65 >> [Всего задач: 557]

Задача 55632

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD окружности проходит через точку M и пересекает прямую AB под углом в 45°.
Докажите, что величина CM² + DM² не зависит от выбора точки M.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57000

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O, O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD.
Докажите, что OO₁ = OO₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64326

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
Темы:	[	Взвешивания	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

Известно, что Толя поймал рыб больше, чем Коля, а Петя и Вася вместе поймали рыб столько же, сколько Коля и Толя вместе. Кроме того, Толя и Петя вместе поймали меньше, чем Вася и Коля. Кто из них поймал больше всех рыб, а кто – меньше всех?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64327

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

Высота AK, биссектриса BL и медиана CM треугольника АВС пересекаются в точке О, причём АО = ВО.
Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64328

Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

Известно, что а, b и c – различные составные натуральные числа, но каждое из них не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно. Докажите, что если эти числа – наименьшие из возможных, то их произведение abc является кубом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 59 60 61 62 63 64 65 >> [Всего задач: 557]