По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

   Решение

Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

   Решение

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD окружности проходит через точку M и пересекает прямую AB под углом в 45°.
Докажите, что величина  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно прямой AB.

Решение

Пусть C₁ – точка, симметричная точке C относительно прямой AB. Точка C₁ лежит на данной окружности, так как сама окружность симметрична относительно диаметра AB. Поскольку  ∠C₁MD = 90°,  то   CM² + DM² = C₁M² + DM² = C₁D²,  а ∠C₁CD = ∠AMD = 45°.  Поэтому длина C₁D, а значит, и сумма  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования