ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



Задача 60881  (#05.043)

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть  (n, 10) = 1,  m < n,  (m, n) = 1,  и t – наименьшее число, при котором  10t – 1  делится на n.
Докажите, что t кратно длине периода дроби m/n.
Будет ли это длина периода?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60882  (#05.044)

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Репьюнитами называются числа     Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то частное  9En/m,  записанное как n-значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби 1/m. Кроме того, если еще выполнены условия  (m, 3) = 1  и En – первый репьюнит, делящийся на m, то число  9En/m  будет совпадать с периодом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60883  (#05.045)

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Теорема Эйлера ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если  (m, 30) = 1,  то число, состоящее из цифр периода дроби 1/m, делится на 9.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60884  (#05.046)

 [Эффект девяток]
Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Периодом дроби 1/7 является число  N = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  q > 5  и натурального  p < q  период дроби p/q есть такое 2n-значное число  N = N1N2,  что  N1 + N2 = .

Прислать комментарий     Решение

Задача 60885  (#05.047)

Тема:   [ Периодические и непериодические дроби ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

  Число  N = 142857  обладает и рядом других свойств. Например:  2·142857 = 285714,  3·142857 = 428571,  ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;  14 + 28 + 57 = 99;  N2 = 20408122449,  20408 + 122449 = 142857 = N.
  Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .