В игре "Десант" две армии захватывают страну. Они ходят по очереди, каждым ходом занимая один из свободных городов. Первый свой город армия захватывает с воздуха, а каждым следующим ходом она может захватить любой город, соединённый дорогой с каким-нибудь уже занятым этой армией городом. Если таких городов нет, армия прекращает боевые действия (при этом, возможно, другая армия свои действия продолжает). Найдётся ли такая схема городов и дорог, что армия, ходящая второй, сможет захватить более половины всех городов, как бы ни действовала первая армия? (Число городов конечно, каждая дорога соединяет ровно два города.)

   Решение

Дано целое число  n > 1.  Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по n точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 86]      

Две окружности S₁ и S₂ с центрами O₁ и O₂ касаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S₁ в точке A₁ и S₂ в точке A₂. Докажите, что  O₁A₁ || O₂A₂.

Прислать комментарий

Решение

Три окружности S₁, S₂ и S₃ попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей S₁ и S₂ с двумя другими точками касания, пересекают окружность S₃ в точках, являющихся концами ее диаметра.

Прислать комментарий

Решение

Две касающиеся окружности с центрами O₁ и O₂ касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO₁O₂.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S₁ и S₂ лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S₁ и S₂ равна радиусу окружности S.

Прислать комментарий

Решение

Радиусы окружностей S₁ и S₂, касающихся в точке A, равны R и r (R > r). Найдите длину касательной, проведенной к окружности S₂ из точки B окружности S₁, если известно, что AB = a. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 86]