Задача 56676

Тема:    [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S₁ и S₂ лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S₁ и S₂ равна радиусу окружности S.

Решение

Пусть O, O₁ и O₂ — центры окружностей S, S₁ и S₂; C — общая точка окружностей S₁ и S₂, лежащая на отрезке AB. Треугольники  AOB, AO₁C и CO₂B равнобедренные, поэтому OO₁CO₂ — параллелограмм и  OO₁ = O₂C = O₂B, а значит,  AO = AO₁ + O₁O = AO₁ + O₂B.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	3
Название	Касающиеся окружности
Тема	Касающиеся окружности
задача
Номер	03.019