ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 85]      



Задача 53871  (#01.055)

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1 так, что отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A1H = BH·B1H = CH·C1H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56512  (#01.056)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A1B1C1 пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно.
Докажите, что если  ∠B1A1C = ∠BA1C1,  ∠A1B1C = ∠AB1C1  и  ∠A1C1B = ∠AC1B1,  то точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56513  (#01.057)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.
Докажите, что точка, симметричная A1 относительно прямой AC, лежит на прямой B1C1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56514  (#01.058)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Докажите, что если  A1B1 || AB  и  B1C1 || BC,  то  A1C1 || AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56515  (#01.059)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC, q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что  p : q = R : r,  где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 85]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .