ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?

   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 98035  (#1)

Темы:   [ Площадь сечения ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98036  (#2)

Темы:   [ Произведения и факториалы ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Задачи с ограничениями ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., n},  не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (n + 1)! – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98037  (#3)

Темы:   [ Площади криволинейных фигур ]
[ Вычисление площадей ]
[ Вычисление производной ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Внутри круга радиуса R взята точка A. Через неё проведены две перпендикулярные прямые. Потом прямые повернули на угол φ относительно точки A. Хорды, высекаемые окружностью из этих прямых, замели при повороте фигуру, имеющую форму креста с центром в точке A. Найдите площадь креста.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98038  (#4)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Ряды с неотрицательными членами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d1, d2, d3, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

Прислать комментарий     Решение

Задача 98039  (#5)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Барицентрические координаты ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фомин Д.

Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и  100 – N  точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .