ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98038
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Ряды с неотрицательными членами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d1, d2, d3, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).


Решение

  а) Пусть число прогрессий равно k. Докажем, что сумма   1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dk   равна 1. Пусть M – некоторое (например, наименьшее) общее кратное чисел  d1, d2, ..., dk.  Рассмотрим любой отрезок из M последовательных натуральных чисел; в нём будет M/di  членов i-й прогрессии с разностью di  (i = 1, 2, ..., k).  Поэтому  M/d1 + M/d2 + ... + M/dk = M.

  б) Рассмотрим прогрессии  1, 11, ...  (d1 = 10);  2, 22, ...  (d2 = 20);  3, 43,...  (d3 = 40);  ... каждый раз d увеличивается вдвое. Если один из членов какой-либо прогрессии встретился в предыдущих, то и все остальные её члены также встречались. Такие прогрессии вычеркнем. Оставшееся множество прогрессий, содержит все натуральные числа, ровно по одному разу, а   1/d1 + 1/d2 + 1/d3 + ... < 1/10 + 1/20 + 1/40 + ... = 0,2.


Ответ

а) Не может;   б) может.

Замечания

баллы: 2 + 3

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1990
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М1212
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .