Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 97829 (#1)

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Автор: Фомин С.В.

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:
а) 80 коп.;
б) одного рубля.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53344 (#2)

Темы:	[	Удвоение медианы	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Пятиугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В выпуклом пятиугольнике ABCDE AE = AD, AC = AB и ∠DAC = ∠AEB + ∠ABE.
Докажите, что сторона CD в два раза больше медианы AK треугольника ABE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97826 (#3)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Болтянский В.

Рассматриваются 4(N – 1) граничных клеток таблицы размером N×N. Нужно вписать в эти клетки последовательные 4(N – 1) целых чисел так, чтобы сумма чисел в вершинах любого прямоугольника со сторонами, параллельными диагоналям таблицы, в том числе и в "вырожденных" прямоугольниках – диагоналях, равнялась одному и тому же числу (для прямоугольников суммируются четыре числа, для диагоналей – два числа). Возможно ли это? Рассмотрите случаи:
а) N = 3;
б) N = 4;
в) N = 5.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97822 (#4)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Через P(x) обозначается произведение всех цифр натурального числа x, через S(x) – сумма цифр числа x.
Сколько решений имеет уравнение: P(P(x)) + P(S(x)) + S(P(x)) + S(S(x)) = 1984 ?

Прислать комментарий

Решение

Задача 97823 (#5)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Печковский А.Н., Итенберг И.

Дана бесконечная клетчатая бумага со стороной клетки, равной единице. Расстоянием между двумя клетками называется длина кратчайшего пути ладьи от одной клетки до другой (считается путь центра ладьи). В какое наименьшее число красок нужно раскрасить доску (каждая клетка закрашивается одной краской), чтобы две клетки, находящиеся на расстоянии 6, были всегда окрашены разными красками?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]