ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97822
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Через P(x) обозначается произведение всех цифр натурального числа x, через S(x) – сумма цифр числа x.
Сколько решений имеет уравнение:   P(P(x)) + P(S(x)) + S(P(x)) + S(S(x)) = 1984 ?


Решение

Пусть x – натуральное число с суммой цифр    содержащее в своей записи несколько нулей. Тогда  P(x) = 0,  следовательно,  P(P(x)) = S(P(x))) = 0.  Кроме того,  P(S(x)) = 0,  а  S(S(x)) = 1984.  Отсюда следует, что уравнение имеет бесконечно много решений.


Ответ

Бесконечно много решений.

Замечания

1. Условие задачи можно истолковать и так: функции P и S определены только для натуральных чисел, поэтому примеры с  P(x) = 0  не удовлетворяют условию: (для них P(P(x)) и S(P(x)) неопределены). Это не сильно мешает. Действительно, пусть n – натуральное число, состоящее из 1982 единиц и произвольного числа нулей, а      Тогда   S(x) = nP(x) = 1,  S(P(x)) = P(P(x)) = 1,  P(S(x)) = P(n) = 0,  S(S(x)) = S(n) = 1982.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант весенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .