Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу  5×5  так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?

   Решение

---

В языке одного древнего племени было 6 гласных и 8 согласных, причём при составлении слов гласные и согласные непременно чередовались. Сколько слов из девяти букв могло быть в этом языке?

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике длины сторон – натуральные взаимно простые числа.
Докажите, что длина гипотенузы – нечётное число, а длины катетов имеют разную чётность.

   Решение

---

В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?

   Решение

---

Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером a×b см, где a и b – целые числа, причём  a < b.  Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить a и b?

   Решение

---

Решите уравнение  (1 + x + x²)(1 + x + ... + x¹⁰) = (1 + x + ... + x⁶)².

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53137

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина – на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79590

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Решите уравнение  (1 + x + x²)(1 + x + ... + x¹⁰) = (1 + x + ... + x⁶)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79603

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, проследив за тем, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит S?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79604

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На прямоугольном экране размером m×n, разбитом на единичные клетки, светятся более  (m – 1)(n – 1)  клеток. Если в каком-либо квадрате 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79592

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями