Задача 79590

Темы:    [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

Условие

Решите уравнение $$(1 + x + x^2)(1 + x + \ldots + x^{10}) = (1 + x + \ldots + x^6)^2.$$

Подсказка

Воспользуйтесь формулой $x^n-1 = (x-1)(x^{n-1}+\ldots+1).$

Решение

Умножив обе стороны уравнения на $(1 - x)^2$, получим $(1 - x^3) (1 - x^{11}) = (1 - x^7)^2.$ Раскроем скобки: $-x^3 - x^{11} = - 2x^7$, то есть $x^3 (1 - x^4)^2 = 0.$ Отсюда $x = -1$, $0$ или $1$. Корень $1$ мог возникнуть из-за умножения на $1-x$; проверкой убеждаемся, что это действительно так.

Ответ

$x = -1; 0.$

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	54
Год	1991
вариант
Класс	9
задача
Номер	1