ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1967 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {an} равенствами

a0 = a,        an + 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$an + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right)^{2^n}_{}$.


Вниз   Решение

Автор: Фольклор

Найдите все пары  (p, q)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Зиманов Т., Кожевников П.А.

На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки K и L (точкаK лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что  AK = KN = DN  и  BL = BC = CM.  Докажите, что если BCNK – вписанный четырёхугольник, то и ADML тоже вписан.

ВверхВниз   Решение

Автор: Евдокимов М.А.

В каждой клетке доски размером 5×5 стоит крестик или нолик, причём никакие три крестика не стоят подряд ни по горизонтали, ни по вертикали, ни по диагонали. Какое наибольшее количество крестиков может быть на доске?

ВверхВниз   Решение

Можно ли расставить на окружности числа 1, 2...12 так, чтобы разность между двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

  с решениями  

Задача 78629

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Можно ли расставить на окружности числа 1, 2...12 так, чтобы разность между двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?
Прислать комментарий     Решение

Задача 78603

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Метод ГМТ ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78604

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Раскладки и разбиения ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Остап Бендер организовал в городе Фуксе раздачу слонов населению. На раздачу явились 28 членов профсоюза и 37 не членов, причём Остап раздавал слонов поровну всем членам профсоюза и поровну – не членам. Оказалось, что существует лишь один способ такой раздачи (так, чтобы раздать всех слонов). Какое наибольшее число слонов могло быть у О. Бендера? (Предполагается, что каждому из пришедших достался хотя бы один слон.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 78608

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Имеется 120-значное число. Его первые 12 цифр переставляются всеми возможными способами. Из полученных таким образом 120-значных чисел наугад выбирают 120 чисел. Доказать, что их сумма делится на 120.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78610

Темы:   [ Наименьший или наибольший угол ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .