ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78610
Темы:    [ Наименьший или наибольший угол ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные расстояния между которыми все больше 1.

Решение

Допустим, что внутри круга радиуса 1 можно расположить шесть точек так, чтобы расстояние между любыми двумя было больше 1. Так как расстояние от центра круга радиуса 1 до любой его точки не превосходит единицы, то ни одна из этих шести точек не может совпадать с центром круга. Пусть A1,..., A6 — это данные точки, занумерованные по часовой стрелке, O — центр круга. Так как $ \angle$A1OA2 + ... + $ \angle$A6OA1 = 360o, то одно из слагаемых не превосходит 60o, то есть $ \angle$AkOAk + 1$ \le$60o для некоторого k. Таким образом, получаем, что какие-то две данные точки лежат в одном секторе с углом 60o. Но внутри такого сектора нет точек, расстояние между которыми больше радиуса круга, а значит, расстояние между этими точками не превосходит 1. Полученное противоречие доказывает, что расставить описанным в условии задачи способом больше пяти точек невозможно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 30
Год 1967
вариант
1
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .