Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1967 год
>>
10 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.
Решение
Решение
Убрать все задачи
На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.
РешениеИз первых k простых чисел 2, 3, 5, ..., pk (k > 5) составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например, 3·5, 3·7·... ·pk, 11 и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что S + 1 разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
В квадрате расположено K точек (K > 2). На какое наименьшее число
треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не
более одной точки?
Доказать, что в круге радиуса 1 нельзя найти более 5 точек, попарные
расстояния между которыми все больше 1.
В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми
координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части
несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78609 (#1) |
|
|
|
Решение |
Задача 78610 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78611 (#3) |
|
|
Доказать, что уравнение 19x³ – 17y³ = 50 не имеет решений в целых числах.
|
|
|
Решение |
Задача 78612 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78613 (#5) |
|
|
Из первых k простых чисел 2, 3, 5, ..., pk (k > 5) составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например, 3·5, 3·7·... ·pk, 11 и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что S + 1 разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
