Задача 79413

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Пятиугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон.
Доказать, что отношение каждой диагонали к соответствующей стороне равно  

Решение

  Из условия следует, что EOCD' и DCBC' – параллелограммы (см. рис.).

  Поэтому  EC' = EB – DC = D'B.  Треугольники EC'B' и BAC' подобны, как и треугольники ED'C и BD'A, поэтому     Обозначив  х = ^EB'/_AB,  получаем уравнение  ¹/_x = x + 1,  откуда  х = .  Значит,  
  Аналогично получаем, что остальные отношения равны тому же числу.

Замечания

Любой такой пятиугольник можно получить из правильного пятиугольника некоторым аффинным преобразованием (например, сжатием вдоль произвольно выбранного направления).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	45
Год	1982
вариант
Класс	8
задача
Номер	4