Версия для печати
Убрать все задачи

---

Все натуральные числа, бóльшие единицы, раскрасили в два цвета – синий и красный – так, что сумма каждых двух синих (в том числе одинаковых) – синяя, а произведение каждых двух красных (в том числе одинаковых) – красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число 1024 покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число 2017?

   Решение

---

Докажите, что  n³ + 2n  делится на 3 для любого натурального n.

   Решение

---

Решите задачу 5.85, а) с помощью теоремы Менелая.

   Решение

---

В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника KLMN.

   Решение

---

Доказать, что в произведении  (1 – x + x² – x³ + ... – x⁹⁹ + x¹⁰⁰)(1 + x + x² + x³ + ... + x⁹⁹ + x¹⁰⁰)  после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих x в нечётной степени.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 76517

Тема:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76519

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Найти четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76520

Тема:   [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Решить систему уравнений:
   x₁ + x₂ + x₃ = 6,
   x₂ + x₃ + x₄ = 9,
   x₃ + x₄ + x₅ = 3,
   x₄ + x₅ + x₆ = –3,
   x₅ + x₆ + x₇ = –9,
   x₆ + x₇ + x₈ = –6,
   x₇ + x₈ + x₁ = –2,
   x₈ + x₁ + x₂ = 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76521

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Доказать, что в произведении  (1 – x + x² – x³ + ... – x⁹⁹ + x¹⁰⁰)(1 + x + x² + x³ + ... + x⁹⁹ + x¹⁰⁰)  после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих x в нечётной степени.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76524

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Доказать, что  n² + 3n + 5  ни при каком целом n не делится на 121.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями