Задача 76524

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Доказать, что  n² + 3n + 5  ни при каком целом n не делится на 121.

Решение

n² + 3n + 5 = (n + 7)(n – 4) + 33.   Оба множителя делятся или не делятся на 11 одновременно, потому что их разность равна 11. Если число
(n + 7)(n – 4)  не делится на 11, то  (n + 7)(n – 4) + 33  не делится даже на 11. Если же  (n + 7)(n – 4)  делится на 11, то оно делится и на 121. Но тогда  (n + 7)(n – 4) + 33  не делится на 121.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	9
Год	1946
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	3