Версия для печати
Убрать все задачи
Две окружности Ω1 и Ω2 с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω1 и Ω2 соответственно так, что лучи O1X и O2Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω2, а из точки Y – к Ω1. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.
Решение
Натуральные числа a, b, c, d попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству ab + cd = ac – 10bd.
Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.
Решение
Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться
нечётное число фигур?
Решение
В трапеции
ABCD с основаниями
AB = a и
CD = b проведён отрезок
A1B1, соединяющий середины диагоналей.
В полученной трапеции проведён отрезок
A2B2, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков
AB,
A1B1,
A2B2,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?
Решение
Фильтр
