Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
2024 год
>>
11 класс. Второй день
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно – точный квадрат.
Решение
Убрать все задачи
Секретная база окружена прозрачным извилистым забором в форме невыпуклого многоугольника, снаружи – болото. Через болото проложена прямая линия электропередач из 36 столбов, часть из которых стоит снаружи базы, а часть – внутри. (Линия электропередач не проходит через вершины забора.) Шпион обходит базу снаружи вдоль забора так, что забор всё время по правую руку от него. Каждый раз, оказавшись на линии электропередач, он считает, сколько всего столбов находится по левую руку от него (он их все видит). К моменту, когда шпион обошёл весь забор, он насчитал в сумме 2015 столбов. Сколько столбов находится внутри базы?
РешениеДокажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно – точный квадрат.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)=\frac{1}{2^x+1}$?
Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?
Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно – точный квадрат.
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и
$CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность
радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена
прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и
$\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника,
образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром
окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую
клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая
из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый
– на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно
покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в
чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну
чёрных и белых клеток?
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 67321 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67322 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67323 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67324 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67325 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
