Версия для печати
Убрать все задачи

---

Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD равны соответственно сторонам A'B', B'C', C'D' и D'A' четырёхугольника A'B'C'D', причём известно, что  AB || CD  и  B'C' || D'A'.  Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.

   Решение

---

В некоторых клетках таблицы 10x10 расставлены несколько крести- ков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столб- ца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?

   Решение

---

Единичный квадрат разрезан на n треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной ¹/_n.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65201  (#1)

Тема:   [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Последовательность (a_n) такова, что  a_n = n²  при  1 ≤ n ≤ 5  и при всех натуральных n выполнено равенство  a_n+5 + a_n+1 = a_n+4 + a_n.  Найдите a₂₀₁₅.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65202  (#2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на 20% и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65203  (#3)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли произвольную точку X, а на боковых сторонах – точки P и Q так, что XPBQ – параллелограмм. Докажите, что точка Y, симметричная точке X относительно PQ, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65204  (#4)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Единичный квадрат разрезан на n треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной ¹/_n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65205  (#5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида    было выполнено равенство  |ad – bc| = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями