Задача 65201

Тема:    [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Гашков С.Б.

Последовательность (a_n) такова, что  a_n = n²  при  1 ≤ n ≤ 5  и при всех натуральных n выполнено равенство  a_n+5 + a_n+1 = a_n+4 + a_n.  Найдите a₂₀₁₅.

Решение

a_n+4 + a_n = a_n+3 + a_n–1 = ... = a₅ + a₁ = 25 + 1 = 26.  Следовательно,  a_n = 26 – a_n+4 = 26 – (26 – a_n+8) = a_n+8,  то есть последовательность (a_n) периодическая с периодом 8. Поскольку остаток от деления 2015 на 8 равен 7,  a₂₀₁₅ = a₇ = 26 – a₃ = 17.

Ответ

17.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	11
задача
Номер	1