Версия для печати
Убрать все задачи

---

Наибольший общий делитель натуральных чисел a, b будем обозначать  (a, b).  Пусть натуральное число n таково, что
(n, n + 1) < (n, n + 2) < ... < (n, n + 35).  Докажите, что  (n, n + 35) < (n, n + 36).

   Решение

---

В каждой клетке секретной таблицы n×n записана одна из цифр от 1 до 9. Из них получаются n-значные числа, записанные в строках слева направо и в столбцах сверху вниз. Петя хочет написать такое n-значное число без нулей в записи, чтобы ни это число, ни оно же, записанное задом наперед, не совпадало ни с одним из 2n чисел в строках и столбцах таблицы. В каком наименьшем количестве клеток Петя должен для этого узнать цифры?

   Решение

---

Существует ли такой квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа  f(1),  f(2), ...,  f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64707  (#1)

Темы:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Витя хочет найти такое выражение, состоящее из единиц, скобок, знаков "+" и "×" что
  - его значение равно 10;
  - если в этом выражении заменить все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", всё равно получится 10.
Приведите пример такого выражения.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64713  (#1)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида ¹/_n, где n – натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64719  (#1)

Тема:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c принимает в точках ¹/_a и c значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена  f(x) имеют разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64719  (#1)

Тема:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c принимает в точках ¹/_a и c значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена  f(x) имеют разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64728  (#1)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Существует ли такой квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа  f(1),  f(2), ...,  f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями