Задача 64442
|
|
 |
Условие
Наибольший общий делитель натуральных чисел a, b будем обозначать (a, b). Пусть натуральное число n таково, что
(n, n + 1) < (n, n + 2) < ... < (n, n + 35). Докажите, что (n, n + 35) < (n, n + 36).
Решение
Заметим, что (n, n + k) = (n, k) ≤ k, то есть (n, n + 1) ≤ 1, (n, n + 2) ≤ 2, ..., (n, n + 35) ≤ 35. Поэтому неравенства из условия задачи могут выполняться тогда и только тогда, когда (n, n + 1) = 1, (n, n + 2) = 2, ..., (n, n + 35) = 35. Но тогда (n, n + 4) = 4, (n, n + 9) = 9, то есть n делится на 4·9 = 36, откуда
(n, n + 36) = 36 > 35 = (n, n + 35).
Замечания
4 балла
