Версия для печати
Убрать все задачи

---

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

   Решение

---

На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите его рёбра.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64429

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан остроугольный треугольник АВС. Точки B' и C' симметричны его вершинам В и С относительно прямых АС и АВ соответственно. Описанные окружности треугольников АВВ' и ACC', вторично пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая АР проходит через центр O описанной окружности треугольника АВС.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64483

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Теорема косинусов ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите его рёбра.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64485

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Сумма восьми чисел равна ⁴/₃. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64487

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В однокруговом турнире участвуют 10 шахматистов. Через какое наименьшее количество туров может оказаться так, что единоличный победитель уже выявился досрочно? (В каждом туре участники разбиваются на пары. Выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64490

Темы:   [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.
При каких n такое возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями