ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64485
Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сумма восьми чисел равна 4/3. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?


Решение

  Оценка. По условию  a1 + a2 + ... + a8 = 4/3.  Пусть  a1a2 ≤ ... ≤ a8.  Тогда  a8 > 0,  кроме того,  a1 + a2 + ... + a7 > 0,  поэтому  a8 < 4/3.  Следовательно,
a2 + a3 + ... + a7 < 6a8 < 6·4/3 = 8.  Значит,  a1 > –8.
  Пример. Пусть  a1 = –7,  a2 = a2 = a3 = ... = a1 = 25/21.  Тогда  –7 + 7·25/21 = 7·4/21 = 4/3.  При этом  –7 + 6·25/21 = 50/7 – 7 > 0,  то есть сумма каждых семи чисел положительна.


Ответ

–7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .