|
|
 |
Условие
На каждой грани правильного тетраэдра с ребром 1 во внешнюю сторону построены правильные тетраэдры. Четыре их вершины, не принадлежащие исходному тетраэдру, образовали новый тетраэдр. Найдите его рёбра.
Решение
Пусть DABC – данный тетраэдр, О – ортогональная проекция вершины D на плоскость АВС, тогда О – центр треугольника АВС (см. рис. ).
Первый способ. Рассмотрим РАВС и QBCD – два тетраэдра, построенные на гранях исходного тетраэдра Тогда PQ – ребро нового тетраэдра.
Рассмотрим треугольник PKQ, где K – середина ребра ВС. Так как PK и QK – апофемы равных правильных тетраэдров, то PK = QK = . DKO – угол между гранями правильного тетраэдра, поэтому cos∠DKQ = OK/DK = 1/3. Тогда.
cos∠PKQ = cos(3∠DKQ) = 4·1/27 – 3·1/3 = – 27/3. Из треугольника PKQ
= 3/2·50/27 = 25/9.
Остальные ребра искомого тетраэдра, очевидно, имеют ту же длину.
Второй способ. Пусть М – точка пересечения медиан (центроид) исходного тетраэдра DABC, тогда М лежит на медиане DO тетраэдра и DM : MO = 3 : 1.
Тетраэдр РАВС симметричен исходному относительно плоскости АВС, поэтому О – середина отрезка DP. Следовательно, точка М лежит на отрезке DP и DM : MP = 3 : 5.
Проведя аналогичные рассуждения для других построенных тетраэдров, получим, что вершины нового тетраэдра являются образами вершин исходного при гомотетии с центром М и коэффициентом 5/3.
Значит, новый тетраэдр – правильный, а длина его ребра равна 5/3.
Ответ
Каждое ребро равно 5/3.
