Версия для печати
Убрать все задачи

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и высоте, проведённой к другой стороне.

   Решение

---

Пусть a_n – число решений уравнения  x₁ + ... + x_k = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
  б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

   Решение

---

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа  n + 1  и  n – 1.  Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2005? (Сначала доска была чистой.)

   Решение

---

Пусть a, b и c – три различных числа. Решите систему    

   Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 141]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61059  (#06.136)

Темы:   [ Теорема Виета ] [ Системы линейных уравнений ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пусть a, b и c – три различных числа. Решите систему    

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61060  (#06.137)

Темы:   [ Системы линейных уравнений ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть a, b и c – три различных числа. Докажите, что из равенств
   
следует, что x = y = z = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61061  (#06.138)

Тема:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Про многочлен   f(x) = x¹⁰ + a₉x⁹ + ... + a₀  известно, что   f(1) = f(–1),  ...,   f(5) = f(–5).  Докажите, что   f(x) = f(– x)  для любого действительного x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64413  (#06.139)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|,  ...,  |3¹ – P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61063  (#06.140)

Темы:   [ Рациональные функции (прочее) ] [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если  f(x) – многочлен, степень которого меньше n, то дробь     (x₁, x₂, ..., x_n  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:  
где  A₁, A₂, ..., A_n  – некоторые константы.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 141]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями