Задача 61061

Тема:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Про многочлен   f(x) = x¹⁰ + a₉x⁹ + ... + a₀  известно, что   f(1) = f(–1),  ...,   f(5) = f(–5).  Докажите, что   f(x) = f(– x)  для любого действительного x.

Решение

Степень многочлена   f(x) – f(– x)  не выше 9. Но он обращается в ноль в 10 точках: ± 1, ± 2, ..., ± 5. Значит, он равен нулю тождественно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	6
Название	Интерполяционный многочлен Лагранжа
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.138