Задача 61063

Темы:    [ Рациональные функции (прочее) ] [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите, что если  f(x) – многочлен, степень которого меньше n, то дробь     (x₁, x₂, ..., x_n  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:  
где  A₁, A₂, ..., A_n  – некоторые константы.

Решение

f(x) = с₁f₁(x) + ... + с_nf_n(x),  где  с_i = f(x_i),  а многочлены   f_i определены в задаче 61050. Осталось заметить, что согласно решению той же задачи функции     как раз и имеют вид  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	6
Название	Интерполяционный многочлен Лагранжа
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.140