Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами P, Q и R. На сторонах треугольника PQR внутренним образом построены квадраты. Докажите, что их центры являются серединами сторон треугольника ABC.

   Решение

---

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

   Решение

---

Пусть     где  p₁, ..., p_s – простые и  α₁, ..., α_s, β₁, ..., β_s ≥ 0.  Докажите равенства:

  а)  

  б)  

  в)  (a, b)[a, b] = ab.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60528  (#03.076)

Тема:   [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Найдите все двузначные числа, квадрат которых равен кубу суммы их цифр.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30364  (#03.077)

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60530  (#03.078)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Найдите наименьшее натуральное n, для которого 1999! не делится на 34ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35713  (#03.079)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что число    делится на 2^k и не делится на 2^k+1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60532  (#03.080)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Пусть     где  p₁, ..., p_s – простые и  α₁, ..., α_s, β₁, ..., β_s ≥ 0.  Докажите равенства:

  а)  

  б)  

  в)  (a, b)[a, b] = ab.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями