ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



Задача 78707  (#03.092)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3
Классы: 8

Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  a + b + ... + k = s + t + ... + z  и  1/a + 1/b + ... + 1/k = 1/s + 1/t + ... + 1/z.
Доказать, что  m = n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60545  (#03.093)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Пусть  (m, n) > 1.  Что больше  τ(mn)  или  τ(m)τ(n)?  Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60546  (#03.094)

 [Совершенные числа]
Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Число n называется совершенным, если  σ(n) = 2n.
Докажите, что если  2k – 1 = p  – некоторое простое число Мерсенна, то  n = 2k–1(2k – 1)  – совершенное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60547  (#03.095)

 [Теорема Эйлера]
Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид  n = 2k–1(2k – 1),  и  p = 2k – 1  – простое число Мерсенна.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60548  (#03.096)

 [Дружественные числа]
Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

  Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если  σ(m) – m = n  и  σ(n) – n = m.
  Докажите, что если все три числа  p = 3·2k–1 – 1,  q = 3·2k – 1  и  r = 9·22k–1 – 1  – простые, то числа  m = 2kpq  и  n = 2kr  – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .