Задача 30364

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Подсказка

Достаточно найти, сколько пятёрок входит в разложение числа 100! на простые множители.

Решение

  Необходимо найти, сколько пар простых чисел 2 и 5 найдётся в разложении числа 100! на простые множители.
  В разложении 100! двоек будет больше, чем пятёрок. Поэтому достаточно найти степень, в которой 5 входит в разложение числа 100!.
  Среди чисел от 1 до 100 всего 20 чисел дают пятёрки в разложение, причём числа 25, 50, 75 и 100 дают сразу две пятёрки. Поэтому искомая степерь равна 24.

Ответ

На 24 нуля.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	007
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	6
Год	1940
вариант
Класс	7,8
Тур	1
задача
Номер	3
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.077