Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Самым высоким в компании был Юра Воробьев, следующим по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Определите, кто с кем катался?

   Решение

---

Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему.

   Решение

---

а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?

б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)

   Решение

---

Отметим на прямой красным цветом все точки вида  81x + 100y,  где x, y – натуральные, и синим цветом – остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60523  (#03.071)

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите наименьшее c, при котором
  а) уравнение  7x + 9y = c  имело бы ровно шесть натуральных решений;
  б) уравнение  14x + 11y = c  имело бы ровно пять натуральных решений.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60524  (#03.072)

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В каких пределах должно заключаться c, чтобы уравнение  19x + 14y = c  имело шесть натуральных решений?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60525  (#03.073)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами  (x, y),  лежащие в полосе  0 ≤ x ≤ b – 1.  Каждой такой точке припишем целое число  N(x, y) = ax + by.
  а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка  (x, y)  (0 ≤ x ≤ b – 1),  для которой  N(x, y) = c.
  б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение  ax + by = c  не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60526  (#03.074)

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пусть натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Докажите, что для того, чтобы уравнение  $ax + by = c$  имело ровно $n$ целых положительных решений, значение $c$ должно находиться в пределах  $(n - 1) \cdot ab + a + b \leqslant c \leqslant (n + 1) \cdot ab.$

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60527  (#03.075)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Центральная симметрия ] [ Системы точек ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Отметим на прямой красным цветом все точки вида  81x + 100y,  где x, y – натуральные, и синим цветом – остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями