Даны две окружности радиусов R и r ( R>r ), имеющие внутреннее касание. Найдите радиус третьей окружности, касающейся первых двух окружностей и их общего диаметра.

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

   Решение

Может ли быть верным равенство  К×О×Т = У×Ч×Е×Н×Ы×Й,  если вместо букв в него подставить цифры от 1 до 9 (разным буквам соответствуют разные цифры)?

   Решение

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть числа $a$ и $b$ взаимно просты. Докажите, что для того, чтобы уравнение  $ax + by = c$  имело ровно $n$ целых положительных решений, значение $c$ должно находиться в пределах  $(n - 1) \cdot ab + a + b \leqslant c \leqslant (n + 1) \cdot ab.$

Решение

  Пусть уравнение  $ax + by = c$  имеет $n$ натуральных решений и $(x_0, y_0)$  – решение уравнения с наименьшим натуральным $x_0$. Тогда  $(x_0+kb, y_0 - ka)$,
$k = 1, 2, ..., n - 1$  – тоже натуральные решения. Значит,  $y_0 > a (n - 1)$, $c - ax_0 = by_0 > (n - 1) \cdot ab$.  Кроме того,  $c - ax_0$  делится на $b$,  поэтому
$c - ax_0 \geqslant (n - 1) \cdot ab + b$,  $c \geqslant (n-1) \cdot ab + ax_0 + b \geqslant (n - 1) \cdot ab + a + b$.
  Уравнение  $ax + by = (n - 1) \cdot ab + a + b$  действительно имеет ровно $n$ натуральных решений:  $(1 + kb, 1 + (n - k - 1) \cdot a)$,  $k = 0, 1, ..., n - 1$.
  Уравнение  $ax + by = (n + 1) \cdot ab$  тоже имеет ровно $n$ натуральных решений:  $(kb, (n + 1 - k) \cdot a)$,  $k = 1, ..., n$.
  При  $c > (n + 1) \cdot ab$  натуральных решений уже больше. Действительно, согласно задаче 60525 уравнение имеет такое решение  $(x_0, y_0)$,  что  $0 \leqslant x_0 < b$,  $y_0 \geqslant 0$.  Но тогда  $(x_0 + kb, y_0 - ka)$,  $k = 1, 2, ..., n + 1$,  – натуральные решения, поскольку  $y_0 - (n + 1) \cdot a = c/b - a/b x_0 - (n + 1) \cdot a > (n + 1) \cdot a - (n + 1) \cdot a = 0.$

Замечания

Далеко не при всех $c$ в указанных пределах натуральных решений ровно $n$ (см. ответ к задаче 60524).

Источники и прецеденты использования