ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики >> параграф 1. Простые числа
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Вниз   Решение

Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

ВверхВниз   Решение

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

Задача 30410  (#03.001)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60454  (#03.002)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108743  (#03.003)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60456  (#03.004)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть  n > 2.  Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60457  (#03.005)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Найдите все простые числа p и q, для которых выполняется равенство  p² – 2q² = 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .